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二次函數(shù)知識(shí)總結(jié)(七篇)

發(fā)布時(shí)間:2023-05-29 12:29:01 查看人數(shù):39

二次函數(shù)知識(shí)總結(jié)

【第1篇 初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

I.定義與定義表達(dá)式

一般地,自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=a_^2+b_+c

(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為_的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式:y=a_^2+b_+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

頂點(diǎn)式:y=a(_-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]

交點(diǎn)式:y=a(_-_?)(_-_ ?) [僅限于與_軸有交點(diǎn)A(_? ,0)和 B(_?,0)的拋物線]

注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 _ = -b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為:P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在_軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0,c)

6.拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ= b^2-4ac>0時(shí),拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac<0時(shí),拋物線與_軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(_= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

V.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c,

當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程),即a_^2+b_+c=0

此時(shí),函數(shù)圖像與_軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=a_^2,y=a(_-h)^2,y=a(_-h)^2 +k,y=a_^2+b_+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸:

當(dāng)h>0時(shí),y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,

當(dāng)h<0時(shí),則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.

當(dāng)h>0,k>0時(shí),將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2 +k的圖象;

當(dāng)h>0,k<0時(shí),將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k>0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k<0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

因此,研究拋物線 y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式,可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>0時(shí),開口向上,當(dāng)a<0時(shí)開口向下,對(duì)稱軸是直線_=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0),若a>0,當(dāng)_ ≤ -b/2a時(shí),y隨_的增大而減小;當(dāng)_ ≥ -b/2a時(shí),y隨_的增大而增大.若a<0,當(dāng)_ ≤ -b/2a時(shí),y隨_的增大而增大;當(dāng)_ ≥ -b/2a時(shí),y隨_的增大而減小.

4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

(1)圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0,圖象與_軸交于兩點(diǎn)A(_?,0)和B(_?,0),其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|_?-_?|

當(dāng)△=0.圖象與_軸只有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)△<0.圖象與_軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí),圖象落在_軸的上方,_為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y>0;當(dāng)a<0時(shí),圖象落在_軸的下方,_為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y<0.

5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值:如果a>0(a<0),則當(dāng)_= -b/2a時(shí),y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),是取得最值時(shí)的自變量值,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),是最值的取值

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知_、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí),可設(shè)解析式為一般形式:

y=a_^2+b_+c(a≠0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí),可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:y=a(_-h)^2+k(a≠0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)解析式為兩根式:y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題,往往以大題形式出現(xiàn).

【第2篇 高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是必要的,為了幫助大家更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),下面是高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié),歡迎查閱!

一、二次函數(shù)概念:

1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如(是常數(shù),)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù),而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).

2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征:

⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量的二次式,的最高次數(shù)是2.

⑵ 是常數(shù),是二次項(xiàng)系數(shù),是一次項(xiàng)系數(shù),是常數(shù)項(xiàng).

二、二次函數(shù)的基本形式

1. 二次函數(shù)基本形式:的性質(zhì):

a 的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越小。

的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上軸時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減小;時(shí),有最小值.

向下軸時(shí),隨的增大而減小;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值.

2. 的性質(zhì):

上加下減。

的`符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上軸時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減小;時(shí),有最小值.

向下軸時(shí),隨的增大而減小;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值.

3. 的性質(zhì):

左加右減。

的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上_=h時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減小;時(shí),有最小值.

向下_=h時(shí),隨的增大而減小;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值.

4. 的性質(zhì):

的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上_=h時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減小;時(shí),有最小值.

向下_=h時(shí),隨的增大而減小;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值.

三、二次函數(shù)圖象的平移

1. 平移步驟:

方法一:⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);

⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到處,具體平移方法如下:

2. 平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移,負(fù)左移;值正上移,負(fù)下移”.

概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減”.

方法二:

⑴沿軸平移:向上(下)平移個(gè)單位,變成

(或)

⑵沿軸平移:向左(右)平移個(gè)單位,變成(或)

四、二次函數(shù)與的比較

從解析式上看,與是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者,即,其中.

五、二次函數(shù)圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn),(若與軸沒有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與軸的交點(diǎn),與軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)的性質(zhì)

1. 當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí),隨的增大而減小;當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),有最小值.

【第3篇 高一數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

i.定義與定義表達(dá)式

一般地,自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系:

y=a_^2+b_+c

(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>;0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)

則稱y為_的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

ii.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式:y=a_^2+b_+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

頂點(diǎn)式:y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)p(h,k)]

交點(diǎn)式:y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點(diǎn)a(_?,0)和b(_?,0)的拋物線]

注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a_?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

iii.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像,

可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

iv.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線

_=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。

特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p,坐標(biāo)為

p(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí),p在y軸上;當(dāng)δ=b^2-4ac=0時(shí),p在_軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>;0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。

a越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>;0),對(duì)稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0,c)

6.拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

δ=b^2-4ac>;0時(shí),拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)。

δ=b^2-4ac=0時(shí),拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)。

δ=b^2-4ac<0時(shí),拋物線與_軸沒有交點(diǎn)。_的取值是虛數(shù)(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

v.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c,

當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程),

即a_^2+b_+c=0

此時(shí),函數(shù)圖像與_軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=a_^2,y=a(_-h)^2,y=a(_-h)^2+k,y=a_^2+b_+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表:

解析式

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱軸

y=a_^2

(0,0)

_=0

y=a(_-h)^2

(h,0)

_=h

y=a(_-h)^2+k

(h,k)

_=h

y=a_^2+b_+c

(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)

_=-b/2a

當(dāng)h>;0時(shí),y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,

當(dāng)h<0時(shí),則向左平行移動(dòng)h個(gè)單位得到.

當(dāng)h>;0,k>;0時(shí),將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h>;0,k<0時(shí),將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k>;0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k<0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

因此,研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式,可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>;0時(shí),開口向上,當(dāng)a<0時(shí)開口向下,對(duì)稱軸是直線_=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0),若a>;0,當(dāng)_≤-b/2a時(shí),y隨_的增大而減小;當(dāng)_≥-b/2a時(shí),y隨_的增大而增大.若a<0,當(dāng)_≤-b/2a時(shí),y隨_的.增大而增大;當(dāng)_≥-b/2a時(shí),y隨_的增大而減小.

4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

(1)圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

(2)當(dāng)△=b^2-4ac>;0,圖象與_軸交于兩點(diǎn)a(_?,0)和b(_?,0),其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ab=_?-_?

當(dāng)△=0.圖象與_軸只有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)△<0.圖象與_軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>;0時(shí),圖象落在_軸的上方,_為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y>;0;當(dāng)a<0時(shí),圖象落在_軸的下方,_為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y<0.

5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值:如果a>;0(a<0),則當(dāng)_=-b/2a時(shí),y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),是取得最值時(shí)的自變量值,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),是最值的取值.

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知_、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí),可設(shè)解析式為一般形式:

y=a_^2+b_+c(a≠0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí),可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:y=a(_-h)^2+k(a≠0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)解析式為兩根式:y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題,往往以大題形式出現(xiàn).

【第4篇 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)及其圖像

二次函數(shù)(quadraticfunction)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(_)=a_^2b_c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般的,自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系:

一般式

y=a_∧2;b_c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a);

頂點(diǎn)式

y=a(_m)∧2k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(_-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m,k)對(duì)稱軸為_=-m,頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=a_∧2的圖像相同,有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式;

交點(diǎn)式

y=a(_-_1)(_-_2)[僅限于與_軸有交點(diǎn)a(_1,0)和b(_2,0)的拋物線];

重要概念:a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>;0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下。a的絕對(duì)值還可以決定開口大小,a的絕對(duì)值越大開口就越小,a的絕對(duì)值越小開口就越大。

牛頓插值公式(已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式)

y=(y3(_-_1)(_-_2))/((_3-_1)(_3-_2)(y2(_-_1)(_-_3))/((_2-_1)(_2-_3)(y1(_-_2)(_-_3))/((_1-_2)(_1-_3)。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(_1__2)(y1為截距)

求根公式

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

_是自變量,y是_的二次函數(shù)

_1,_2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2_的平方的圖像,

可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數(shù)圖像

如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤,那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。

注意:草圖要有1本身圖像,旁邊注明函數(shù)。

2畫出對(duì)稱軸,并注明_=什么

3與_軸交點(diǎn)坐標(biāo),與y軸交點(diǎn)坐標(biāo),頂點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線的性質(zhì)

軸對(duì)稱

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線_=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。

特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)

頂點(diǎn)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p,坐標(biāo)為p(-b/2a,4ac-b^2;)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí),p在y軸上;當(dāng)δ=b^2;-4ac=0時(shí),p在_軸上。

開口

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>;0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。

|a|越大,則拋物線的開口越小。

決定對(duì)稱軸位置的'因素

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>;0),對(duì)稱軸在y軸左;因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號(hào)

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0,也就是-b 2a=''>;0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號(hào)

可簡(jiǎn)單記憶為左同右異,即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>;0),對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。

事實(shí)上,b有其自身的幾何意義:拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值??赏ㄟ^對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0,c)

拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

6.拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

δ=b^2-4ac>;0時(shí),拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)。

δ=b^2-4ac=0時(shí),拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)。

δ=b^2-4ac<0時(shí),拋物線與_軸沒有交點(diǎn)。_的取值是虛數(shù)(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

當(dāng)a>;0時(shí),函數(shù)在_=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{_|_<-b/2a}上是減函數(shù),在

{_|_>;-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開口向上;函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸,這時(shí),函數(shù)是偶函數(shù),解析式變形為y=a_^2c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①當(dāng)_=1時(shí)y=abc

②當(dāng)_=-1時(shí)y=a-bc

③當(dāng)_=2時(shí)y=4a2bc

④當(dāng)_=-2時(shí)y=4a-2bc

【第5篇 二次函數(shù)知識(shí)總結(jié)

二次函數(shù)知識(shí)總結(jié)

一、定義與定義表達(dá)式一般地,自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=a_2+b_+c(a0),則稱y為_的二次函數(shù)。

二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式:

y=a_2+b_+c(a0)頂點(diǎn)式:y=a(_-h)2+k(a0),此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為p(h,k)交點(diǎn)式:y=a(_-_1)(_-_2)(a0)僅用于函數(shù)圖像與_軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),_1、_2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(_1,0)和b(_2,0)),對(duì)稱軸所在的直線為_=注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:h=-,k=;_1,_2=;_1+_2=-

三、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,屬于軸對(duì)稱圖形。

四、拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸為直線_=-,對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)p。特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p,坐標(biāo)為p(-,)。當(dāng)_=-時(shí),y最值=,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y有最小值;當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時(shí),p在y軸上(即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0);當(dāng)=b2-4ac=0時(shí),p在_軸上(即函數(shù)與_軸只有一個(gè)交點(diǎn))。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向上;當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下。|a|越大,則拋物線的開口越小。對(duì)于兩個(gè)拋物線,若形狀相同,開口方向相同,則a相等;若形狀相同,開口方向相反,則a互為相反數(shù)。

4.二次項(xiàng)系數(shù)a和一次項(xiàng)系數(shù)b共同決定對(duì)稱軸的位置,四字口訣為“左同右異”,即:當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左邊時(shí),a與b同號(hào)(即ab當(dāng)對(duì)稱軸在y軸右邊時(shí),a與b異號(hào)(即ab0)。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置,拋物線與y軸交于點(diǎn)(0,c)。

6.拋物線y=a_2+b_+c(a0)與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程a_2+b_+c=0的根的判定方法:=b2-4ac0時(shí),拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn),對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不相同的.實(shí)數(shù)根;=b2-4ac=0時(shí),拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn),對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。=b2-4ac0時(shí),拋物線與_軸沒有交點(diǎn),對(duì)應(yīng)方程沒有實(shí)數(shù)根。

五、二次函數(shù)與一元二次方程

二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_2+b_+c(a0),當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程,即a_2+b_+c=0,此時(shí),函數(shù)圖像與_軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。(參考四-6)

六、常用的計(jì)算方法

1、求解析式的時(shí)候:若給定三個(gè)普通點(diǎn)的坐標(biāo),則設(shè)為一般式y(tǒng)=a_2+b_+c(a0),分別將三點(diǎn)坐標(biāo)代入組成三元一次方程組,然后解此方程組求出a、b、c,再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式;若給定有頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值,則設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(_-h)2+k(a0),再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a,再代回設(shè)的頂點(diǎn)式即可求出解析式;若給定有與_軸的交點(diǎn)坐標(biāo),則設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(_-_1)(_-_2)(a0),再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a,再代回設(shè)的交點(diǎn)式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號(hào)內(nèi)的正負(fù)號(hào)。

2、若求函數(shù)與_軸的交點(diǎn)坐標(biāo),讓y=0,解一元二次方程所得的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo);

3、若求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),用配方的方法或者直接套用頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式;

4、若求函數(shù)的最大值或者最小值,也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點(diǎn)坐標(biāo))。

5、當(dāng)需要判定函數(shù)y=a_2+b_+c(a0)與_軸沒有交點(diǎn)時(shí),需判定方程a_2+b_+c=0的lt;0,同理,與_軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),=0,與_軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),gt;0。對(duì)的判定方法仍然是用配方的方法。

【第6篇 初中奧數(shù)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、二次函數(shù)概念:

1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如(是常數(shù),)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù),而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).

2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征:

⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量的二次式,的次數(shù)是2.

⑵ 是常數(shù),是二次項(xiàng)系數(shù),是一次項(xiàng)系數(shù),是常數(shù)項(xiàng).

二、二次函數(shù)的基本形式

1. 二次函數(shù)基本形式:的性質(zhì):

a 的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越小。

的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上軸時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減小;時(shí),有最小值.

向下軸時(shí),隨的增大而減小;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有值.

2. 的性質(zhì):

上加下減。

的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上軸時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減小;時(shí),有最小值.

向下軸時(shí),隨的增大而減小;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有值.

3. 的性質(zhì):

左加右減。

的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上_=h時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減小;時(shí),有最小值.

向下_=h時(shí),隨的增大而減小;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有值.

4. 的性質(zhì):

的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

向上_=h時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減小;時(shí),有最小值.

向下_=h時(shí),隨的增大而減小;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有值.

三、二次函數(shù)圖象的平移

1. 平移步驟:

方法一:⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);

⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到處,具體平移方法如下:

2. 平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移,負(fù)左移;值正上移,負(fù)下移”.

概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減”.

方法二:

⑴沿軸平移:向上(下)平移個(gè)單位,變成

(或)

⑵沿軸平移:向左(右)平移個(gè)單位,變成(或)

四、二次函數(shù)與的比較

從解析式上看,與是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者,即,其中.

五、二次函數(shù)圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn),(若與軸沒有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與軸的交點(diǎn),與軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)的性質(zhì)

1. 當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí),隨的增大而減小;當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),有最小值.

【第7篇 中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語有一個(gè)現(xiàn)象是普遍存在的,就是“學(xué)的越多感覺不會(huì)的越多,背的越多忘的越快”,這個(gè)問題困擾著很多考研黨。很多時(shí)候死記硬背并不是的方法,需要找到正確的思路,靈活記憶。為同學(xué)們提供中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié),希望能對(duì)大家有所幫助。

i.定義與定義表達(dá)式

一般地,自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=a_^2+b_+c

(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>;0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)則稱y為_的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

ii.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式:y=a_^2+b_+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

頂點(diǎn)式:y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)p(h,k)]

交點(diǎn)式:y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點(diǎn)a(_?,0)和b(_?,0)的拋物線]

注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

iii.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

iv.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線_=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線_=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)p,坐標(biāo)為:p(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí),p在y軸上;當(dāng)δ=b^2-4ac=0時(shí),p在_軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0,c)

6.拋物線與_軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

δ=b^2-4ac>0時(shí),拋物線與_軸有2個(gè)交點(diǎn)。

δ=b^2-4ac=0時(shí),拋物線與_軸有1個(gè)交點(diǎn)。

δ=b^2-4ac<0時(shí),拋物線與_軸沒有交點(diǎn)。

_的取值是虛數(shù)(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

v.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c,

當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程),即a_^2+b_+c=0

此時(shí),函數(shù)圖像與_軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=a_^2,y=a(_-h)^2,y=a(_-h)^2+k,y=a_^2+b_+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表:

當(dāng)h>;0時(shí),y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,

當(dāng)h<0時(shí),則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.

當(dāng)h>;0,k>;0時(shí),將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h>;0,k<0時(shí),將拋物線y=a_^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k>;0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k<0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;

因此,研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式,可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>;0時(shí),開口向上,當(dāng)a<0時(shí)開口向下,對(duì)稱軸是直線_=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0),若a>;0,當(dāng)_≤-b/2a時(shí),y隨_的增大而減??;當(dāng)_≥-b/2a時(shí),y隨_的增大而增大.若a<0,當(dāng)_≤-b/2a時(shí),y隨_的增大而增大;當(dāng)_≥-b/2a時(shí),y隨_的增大而減?。?/p>

4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

(1)圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

(2)當(dāng)△=b^2-4ac>;0,圖象與_軸交于兩點(diǎn)a(_?,0)和b(_?,0),其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ab=|_?-_?|

當(dāng)△=0.圖象與_軸只有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)△<0.圖象與_軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>;0時(shí),圖象落在_軸的上方,_為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y>;0;當(dāng)a<0時(shí),圖象落在_軸的下方,_為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y<0.

5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值:如果a>;0(a<0),則當(dāng)_=-b/2a時(shí),y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),是取得最值時(shí)的自變量值,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),是最值的取值.

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知_、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí),可設(shè)解析式為一般形式:

y=a_^2+b_+c(a≠0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí),可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:y=a(_-h)^2+k(a≠0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)解析式為兩根式:y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題,往往以大題形式出現(xiàn).

二次函數(shù)知識(shí)總結(jié)(七篇)

一、二次函數(shù)概念:1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如(是常數(shù),)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù),而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2.二次函數(shù)…
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