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【第1篇 初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)
I.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=a_^2+b_+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(_-_?)(_-_ ?) [僅限于與_軸有交點(diǎn)A(_? ，0)和 B(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 _ = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時，P在_軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與_軸交點(diǎn)個數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與_軸有2個交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(_= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程)，即a_^2+b_+c=0
此時，函數(shù)圖像與_軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2 +k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸：
當(dāng)h>0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2 +k的圖象;
當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)_ ≤ -b/2a時，y隨_的增大而減小;當(dāng)_ ≥ -b/2a時，y隨_的增大而增大.若a<0，當(dāng)_ ≤ -b/2a時，y隨_的增大而增大;當(dāng)_ ≥ -b/2a時，y隨_的增大而減小.
4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與_軸交于兩點(diǎn)A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|_?-_?|
當(dāng)△=0.圖象與_軸只有一個交點(diǎn);
當(dāng)△<0.圖象與_軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實(shí)數(shù)時，都有y>0;當(dāng)a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實(shí)數(shù)時，都有y<0.
5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)_= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點(diǎn)或已知_、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).
【第2篇 高一數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)
高一數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)
i.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=a_^2+b_+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>;0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，iai還可以決定開口大小，iai越大開口就越小，iai越小開口就越大.)
則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
ii.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)p(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點(diǎn)a(_?，0)和b(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a_?，_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
_=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。
特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個頂點(diǎn)p，坐標(biāo)為
p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時，p在y軸上;當(dāng)δ=b^2-4ac=0時，p在_軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>;0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。
a越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab>;0)，對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與_軸交點(diǎn)個數(shù)
δ=b^2-4ac>;0時，拋物線與_軸有2個交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點(diǎn)。_的取值是虛數(shù)(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
v.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程)，
即a_^2+b_+c=0
此時，函數(shù)圖像與_軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表：
解析式
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對稱軸
y=a_^2
(0，0)
_=0
y=a(_-h)^2
(h，0)
_=h
y=a(_-h)^2+k
(h，k)
_=h
y=a_^2+b_+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
_=-b/2a
當(dāng)h>;0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當(dāng)h<0時，則向左平行移動h個單位得到.
當(dāng)h>;0，k>;0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h>;0，k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0，k>;0時，將拋物線向左平行移動h個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動h個單位，再向下移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>;0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，當(dāng)_≤-b/2a時，y隨_的增大而減小;當(dāng)_≥-b/2a時，y隨_的增大而增大.若a<0，當(dāng)_≤-b/2a時，y隨_的.增大而增大;當(dāng)_≥-b/2a時，y隨_的增大而減小.
4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>;0，圖象與_軸交于兩點(diǎn)a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1，_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ab=_?-_?
當(dāng)△=0.圖象與_軸只有一個交點(diǎn);
當(dāng)△<0.圖象與_軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>;0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實(shí)數(shù)時，都有y>;0;當(dāng)a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實(shí)數(shù)時，都有y<0.
5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，則當(dāng)_=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點(diǎn)或已知_、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).
【第3篇 中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語有一個現(xiàn)象是普遍存在的，就是“學(xué)的越多感覺不會的越多，背的越多忘的越快”，這個問題困擾著很多考研黨。很多時候死記硬背并不是的方法，需要找到正確的思路，靈活記憶。為同學(xué)們提供中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)，希望能對大家有所幫助。
i.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=a_^2+b_+c
（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>;0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.）則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
ii.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=a_^2+b_+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）
頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)p（h，k）]
交點(diǎn)式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點(diǎn)a（_?，0）和b（_?，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線_=-b/2a。
對稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)p。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線_=0）
2.拋物線有一個頂點(diǎn)p，坐標(biāo)為：p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時，p在y軸上；當(dāng)δ=b^2-4ac=0時，p在_軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與_軸交點(diǎn)個數(shù)
δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與_軸有2個交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點(diǎn)。
δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與_軸沒有交點(diǎn)。
_的取值是虛數(shù)（_=-b±√b^2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）
v.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=a_^2+b_+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程（以下稱方程），即a_^2+b_+c=0
此時，函數(shù)圖像與_軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與_軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表：
當(dāng)h>;0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當(dāng)h>;0,k>;0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h>;0,k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h<0,k>;0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>;0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，當(dāng)_≤-b/2a時，y隨_的增大而減??；當(dāng)_≥-b/2a時，y隨_的增大而增大．若a<0，當(dāng)_≤-b/2a時，y隨_的增大而增大；當(dāng)_≥-b/2a時，y隨_的增大而減小．
4．拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>;0，圖象與_軸交于兩點(diǎn)a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離ab=|_?-_?|
當(dāng)△=0．圖象與_軸只有一個交點(diǎn)；
當(dāng)△<0．圖象與_軸沒有交點(diǎn)．當(dāng)a>;0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實(shí)數(shù)時，都有y>;0；當(dāng)a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實(shí)數(shù)時，都有y<0．
5．拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，則當(dāng)_=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點(diǎn)或已知_、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0)．
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(_-h)^2+k(a≠0)．
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)．
